Cada viernes, hasta completar los 30 que dura la promoción, se planteará un nuevo desafío y quién sepa la respuesta puede escribir antes de las 00:00 horas del martes siguiente al correo problemamatematicas@gmail.com. Entre los acertantes se sorteará una colección completa de libros de matemáticas cuyo primer volumen salió el domingo 20 de marzo a la venta con EL PAÍS.
1 - Viernes 18/03/2011 - Ciudades y carreteras
Solución Desafío 1 - Ciudades y carreteras
2 - Viernes 25/03/2011 - Una hormiga amenazada
Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.
Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?
3 - Viernes 01/04/2011 - Un cuadrado mágico de productos
El
problema consiste en completar un cuadrado de tres por tres, donde ya
se ha escrito el 15 en la posición central, con otros ocho números
enteros positivos, todos ellos distintos entre sí y de tal manera que
al multiplicar los tres números de cada fila, de cada columna y de cada
una de las dos diagonal obtengamos, en todos los casos, el mismo
resultado.
No hace falta
explicar cómo se ha encontrado. Es suficiente con enviar el cuadrado de
la manera siguiente, sustituyendo las cruces por los números del
cuadrado:
Fila 1: x x x
Fila 2: x 15 x
Fila 3: x x x
Cualquier
cuadrado que cumpla las condiciones del problema (recordad que los 9
números deben de ser enteros positivos y distintos) será considerado
una respuesta correcta.
4 - Viernes 08/04/2011 - Un reloj de dos colores
Se considera un reloj con sus 12 números en torno a una circunferencia:
1, 2, ..., 12. Se pintan de azul o rojo cada uno de los 12 números de
modo que haya seis pintados de azul y seis de rojo. El problema
consiste en demostrar, que, independientemente del orden en que se hayan
pintado, siempre existirá una posible recta que divida al reloj por la
mitad, dejando en cada lado seis números, tres pintados de rojo y tres
pintados de azul.
5 - Viernes 15/04/2011 - Un PAÍS de palillos
Primer juego: Por turnos, cada jugador retira uno, dos o tres palillos del dibujo. Gana el que retira el último palillo, esto es, el que deja la mesa vacía.
Segundo juego: Por turnos, los jugadores retiran el número que quieran de palillos pero siempre de la misma letra cada vez (de la P, de la A, de la I o de la S). Gana también el que retira el último palillo.
Se trata, como decíamos de hallar la estrategia ganadora en ambos juegos (el modo de ganar seguro) precisando si la tiene el jugador que abre el juego o el segundo.
6 - Viernes 22/04/2011 -Una cuestión de sombreros
Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y
se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro,
sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29
blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13...). Cada preso sólo verá los
sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de
detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los
presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que
no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden
contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son
ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a
las suyas.
Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen
la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color
serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar
una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO
al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa
estrategia?
Atención: Para aclarar algunas dudas que han
surgido ya entre los lectores. Los prisioneros no pueden hacer señas, ni
tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz... deben
contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los
carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.
Solución Desafío de El País_6_Una cuestión de sombreros
7 - Viernes 29/04/2011 -Un piano gigantesco
Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.
Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:
1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.
8 - Viernes 06/05/2011 -Un cubo de suma cero
A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.
¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.
Solución Desafío 8 - Un cubo de suma cero
9 - Viernes 13/05/2011 -Una enorme potencia de 2
Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301. Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.
10 - Viernes 20/05/2011 - Cómo rellenar con piezas un tablero
Tenemos un tablero cuadrado de 9x9=81 casillas iguales y 20 piezas idénticas de la forma que se muestra en el vídeo.
Se trata de ir poniendo piezas en el tablero en cualquier posición, como en un puzzle, con el objetivo final de cubrir el MAYOR número de cuadrados posible, o lo que es lo mismo, dejando vacíos el MENOR número de cuadrados posible. Cada cuadrado de la pieza ocupa exactamente un cuadrado del tablero y las piezas no se pueden solapar.
Dividimos el problema en dos cuestiones:
1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.
2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?
Nota: Las piezas son reversibles
11 - Viernes 27/05/2011 -Pesando tornillos
Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?
Solución Desafío 11 - Pesando tornillos
12 - Viernes 03/06/2011 - Una exhibición de coches de carreras
Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.
13 - Viernes 10/06/2011 -Una camiseta bordada en zigzag
Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:
a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).
b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).
c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.
d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.
e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.
Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
7 - Viernes 29/04/2011 -Un piano gigantesco
Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.
Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:
1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.
A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.
¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.
9 - Viernes 13/05/2011 -Una enorme potencia de 2
Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301. Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.
Tenemos un tablero cuadrado de 9x9=81 casillas iguales y 20 piezas idénticas de la forma que se muestra en el vídeo.
Se trata de ir poniendo piezas en el tablero en cualquier posición, como en un puzzle, con el objetivo final de cubrir el MAYOR número de cuadrados posible, o lo que es lo mismo, dejando vacíos el MENOR número de cuadrados posible. Cada cuadrado de la pieza ocupa exactamente un cuadrado del tablero y las piezas no se pueden solapar.
Dividimos el problema en dos cuestiones:
1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.
2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?
Nota: Las piezas son reversibles
11 - Viernes 27/05/2011 -Pesando tornillos
Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?
Solución Desafío 11 - Pesando tornillos
12 - Viernes 03/06/2011 - Una exhibición de coches de carreras
Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.
13 - Viernes 10/06/2011 -Una camiseta bordada en zigzag
Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:
a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).
b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).
c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.
d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.
e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.
Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
14 - Viernes 17/06/2011 - Partículas en colisión
La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado. Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo. En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.
15 - Viernes 24/06/2011 - Una cuestión de unos y ceros
El problema de esta semana parte de la observación de que todos los
números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado
solamente por ceros y unos. (Por ejemplo: 1x10=10; 2x5=10; 3x37=111;
4X25=100; 5X2=10; 6X185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000;
9x12345679=111111111... y así para cualquier número natural). La
pregunta de la semana es: ¿por qué sucede esto?
16 - Viernes 01/07/2011 - Una molécula de siete átomos
Os pedimos que deis las coordenadas de la posición en el plano que ocuparán los siete átomos de una molécula plana cumpliendo la propiedad anterior, situando uno de los átomos en el origen de coordenadas e indicando las coordenadas de la posición en el plano de los otros seis átomos.
Nota Importante: Considerar que la unidad que representaremos en los ejes de coordenadas es el ångström. Si alguna de las coordenadas de los puntos es, por ejemplo: (raíz cuadrada de 3, 1/3), no deis un valor aproximado a los valores obtenidos. Dejad indicada la expresión exacta que encontréis.
17 - Viernes 08/07/2011 - Una mesa y un mantel
Nota importante: Han llegado ya varias soluciones erróneas porque no tienen en cuenta que el papel hay que cortarlo transversalmente, no longitudinalmente o de forma diagonal. Es decir, las tiras de papel deben mantener el ancho de 20 centímetros.
18 - Viernes 15/07/2011 - De un lado para otro
A lo largo de uno de los lados del triángulo, discurría un río tranquilo y cristalino de donde podían tomar el agua e incluso pescar. Otro de los lados se abría en toda su longitud a una sabana en donde podrían cazar buenas piezas . El tercer lado limitaba completamente con un terreno fértil que podían cultivar
Felices con este descubrimiento se establecieron en un punto de esta vasta llanura triangular y construyeron tres caminos que unían el poblado con cada uno de los lados. Cada camino unía el poblado con uno de los lados en línea recta y de manera que el trayecto era el más corto posible. Y empezaron a vivir según sus ancestrales costumbres. Cada día, con el alba se dirigían al río a buscar agua e incluso algún pescado, si la suerte acompañaba. De regreso al poblado cambiaban los cántaros por los arcos y las flechas, y recorrían el camino hasta el límite de la sabana para cazar alguna presa que llevaban al poblado ante la alegría de todos. En la hoguera cocinaban sus manjares. Tras la comida y antes del trayecto vespertino, un poco de descanso. Por la tarde tomaban el camino hacia las zonas de cultivo para llevar a cabo rudimentarios trabajos agrícolas. Al atardecer volvían al poblado llevando, en ocasiones, el fruto de las sencillas cosechas.
Se trataba de una vida tranquila que sólo tenía el inconveniente de las largas caminatas de ida y vuelta en línea recta por los trillados caminos hacia el río, la sabana y los cultivos. Paso a paso, ni muy lentos ni muy rápidos, a una velocidad constante de 5 km/h, cada día recorrían los tres caminos que les aseguraban su sustento. Eran felices y vivían en paz... aunque a veces se sentían cansados de tanto caminar.
Lo que preguntamos esta semana es: ¿Cuántas horas empleaban cada día en recorrer estos caminos? ¿Cuántas horas emplea cada día un individuo de esta tribu en recorrer ida y vuelta estos trayectos?
NOTAS IMPORTANTES: Os pedimos la solución en horas con dos decimales, no en horas y minutos. Debéis enviarnos la solución y el razonamiento que os ha conducido a ella.
19 - Viernes 22/07/2011 - Cuadrados que suman grandes cifras
Las preguntas concretas de esta semana son: ¿De cuántas formas distintas se puede escribir 2^2012 como suma de cuatro cuadrados? ¿Y de cuántas formas se puede escribir 2^2011?
Una advertencia: si alguien pretende usar un ordenador para calcular las posibles respuestas, quizás le convenga darse cuenta de que el número de cuadrados perfectos más pequeños que los números que se piden es inmenso (concretamente, mayor que 2^1005). Esto significa que el ordenador más potente del mundo tardaría millones de años en calcular todas las posibilidades, por lo que para resolverlo antes del martes es necesario hacerlo mediante un razonamiento matemático.
NOTA IMPORTANTE: Lo que se pide no es encontrar una manera de escribir los números dados como suma de cuatro cuadrados, sino señalar de cuántas maneras distintas pueden escribirse y describir el razonamiento que se ha seguido para llegar a la solución. Recordamos que el 0 no se considera un cuadrado perfecto
20 - Viernes 29/07/2011 - ¡Todo el mundo a su silla!
El desafío es: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse la segunda vez las 35 personas en estas 35 sillas siguiendo esta condición?
NOTA IMPORTANTE: No se trata de decir de cuántas maneras se pueden sentar 35 personas en 35 sillas, sino de cuántas maneras pueden volver a sentarse, con las reglas dadas, 35 personas que estaban ya sentadas. Hay que tener en cuenta que ni al principio ni al final queda ninguna silla vacía; es decir, cada silla está ocupada por una persona (y solo una).
21 - Viernes 05/08/2011 - Un sistema de riego eficiente
En un jardín se quiere montar un sistema de riego automático. Para ello se instalará una boca de riego de la que saldrán tantas tuberías como árboles queramos regar, de modo que cada tubería llegue a uno de dichos árboles y que la suma de las longitudes de dichas tuberías sea mínima.
Es claro que si sólo tenemos 2 árboles y situamos la boca de riego en cualquier punto de la recta que los une, la suma de las longitudes de las tuberías es mínima, con independencia del punto de la recta que se elija.
Pues bien, ahora consideramos un jardín con 4 árboles y el desafío de esta semana consiste en determinar cuál es el punto (o los puntos, si hubiera más de uno) en los que hay que situar la boca de riego para que la suma de las longitudes de las cuatro tuberías sea mínima.
¡Cuidado!, porque la solución va a depender de la disposición que presenten los cuatro árboles en el jardín.
NOTA IMPORTANTE: Para que la solución sea válida, habrá que dar la respuesta correcta en todos los casos posibles, sin que sea necesario justificarla. Hay que tener en cuenta que, aunque siempre es imprescindible que haya tantas tuberías como árboles (es decir, cuatro), la boca de riego puede estar situada justo donde hay un árbol, en cuyo caso se considerará que la tubería que va a dicho árbol tiene una longitud 0.
1ª fila: 5, 22, 18;
2ª fila: 28, 15, 2;
3ª fila: 12, 8, 25.
La suma de sus filas, columnas y diagonales principales, que llamaremos constante mágica, es 45.
Pero este cuadrado tiene algo especial. Para verlo, utilizando como idioma el inglés, sustituiremos cada uno de los números del cuadrado por el número de letras de la palabra con la que se escribe dicho número en inglés (es decir, el 5 lo sustituiremos por un 4, ya que la palabra five tiene cuatro letras, el 22 lo sustituiremos por un 9 porque twenty two tiene nueve letras, etcétera).
Así, nos daremos cuenta al hacer todas las sustituciones de que lo que obtenemos es otro cuadrado mágico:
4, 9, 8;
11, 7, 3;
6, 5, 10.
Consideraremos por tanto especiales a estos cuadrados mágicos en los que el número de letras del nombre de los números que contiene forman a su vez otro cuadrado mágico. Evidentemente, esto dependerá del idioma usado, y este cuadrado mágico especial que obtenemos usando el inglés, no lo sería si hiciéramos lo mismo usando el español.
El desafío consiste en construir un cuadrado especial usando como idioma el español.
NOTA IMPORTANTE: Al enviar la respuesta deberéis anotar los números de la siguiente manera:
Fila 1: x x x
Fila 2: x x x
Fila 3: x x x
Además habrá que enviar una descripción del método seguido para encontrar el cuadrado mágico especial. Como recomendación aconsejamos observar los dos cuadrados mágicos del ejemplo. Uno de ellos os puede dar una pista para construir un cuadrado mágico especial.
Solución Desafío 22
23 - Viernes 19/08/2011 - 12 vértices y ¿seis distancias distintas?
En un cuadrado, es muy fácil observar que no podemos emparejar sus cuatro vértices, sin repetir ninguno, de forma que obtengamos 2 segmentos de longitud distinta. O bien podemos conseguir las dos diagonales, o bien dos de los lados, pero nunca podremos obtener un lado y una diagonal.
En cambio, en un octógono regular, sí que podemos emparejar sus ocho vértices, sin repetir ninguno, para obtener 4 segmentos de longitud distinta. Numerando los vértices del octógono del 1 al 8 en el sentido de las agujas del reloj, una forma de emparejarlos sería: (1,2), (3,6), (5,7) y (4,8).
El desafío consiste en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta. En caso de que sí se pueda, hay que encontrar una combinación de 6 pares de vértices como la que hemos obtenido para el octógono. En caso de que no se pueda, hay que dar un razonamiento lógico que nos asegure por qué no.
NOTA IMPORTANTE: Recomendamos que no intentéis resolverlo probando todos los casos posibles.
24 - Viernes 26/08/2011 - Cómo tapar una mesa
Tenemos una mesa rectangular y un número suficientemente grande de círculos, todos del mismo tamaño. Se consideran dos tipos de distribuciones de círculos sobre el tablero:
La primera consiste en poner los círculos sobre la mesa, con su centro dentro de ella, de forma que no se superpongan (sí puede haber contacto) y además de forma que no quepa ningún otro círculo. En ese caso diremos que se ha llenado la mesa.
En la segunda distribución, los círculos sí pueden superponerse y se debe conseguir que todos los puntos de la mesa estén en alguno de ellos (es decir, que no quede a la vista ningún punto del tablero. En ese caso, diremos que se ha tapado la mesa.
El desafío consiste en demostrar que si la mesa se puede llenar con un número n de círculos, entonces se puede tapar con 4n de ellos.
NOTA IMPORTANTE: El planteamiento del desafío no dice nada sobre las medidas de los círculos ni de la mesa, que son totalmente arbitrarias. No se trata por tanto de calcular el número de discos o el tamaño que deberían tener, sino de justificar que la afirmación de que una mesa que se llena con n círculos se tapa con 4n círculos es siempre cierta.
25 - Viernes 02/09/2011 - Dos alfombras triangulares
En una habitación de planta rectangular hay dos alfombras triangulares,
una rosa y otra verde, colocadas como se muestra en la figura.
Se sabe que el área de la parte no cubierta por las alfombras
(coloreada en amarillo) mide 4,2m^2. ¿Cuánto mide el área del
cuadrilátero determinado por la superposición de las dos alfombras
(sombreado en negro)? La respuesta debe incluir, además del área
expresada en m^2, el razonamiento seguido para llegar a la solución.
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